Die pq-Formel
Die pq-Formel löst quadratische Gleichungen in der Normalform x² + px + q = 0:
Steht vor x² eine andere Zahl als 1, teilen Sie zuerst die ganze Gleichung durch diese Zahl. Aus 2x² + 4x − 6 = 0 wird so x² + 2x − 3 = 0, also p = 2 und q = −3. Der Rechner macht diesen Schritt automatisch.
Mitternachtsformel (abc-Formel)
Die Mitternachtsformel arbeitet direkt mit a, b und c, ohne vorher zu teilen:
Beide Formeln liefern immer dieselben Lösungen. Die pq-Formel ist in Norddeutschland verbreiteter, die Mitternachtsformel vor allem in Bayern und Baden-Württemberg. Der Name kommt daher, dass man sie auch um Mitternacht geweckt noch aufsagen können soll.
Was die Diskriminante verrät
Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante. Sein Vorzeichen bestimmt die Zahl der Lösungen:
| Diskriminante | Lösungen | Parabel |
|---|---|---|
| größer als 0 | zwei reelle Lösungen | schneidet die x-Achse zweimal |
| gleich 0 | eine doppelte Lösung | berührt die x-Achse im Scheitelpunkt |
| kleiner als 0 | keine reelle Lösung | liegt ganz über oder unter der x-Achse |
Bei der pq-Formel ist es (p/2)² − q, bei der Mitternachtsformel b² − 4ac. Beide haben immer dasselbe Vorzeichen.
Probe mit dem Satz von Vieta
Für die Lösungen der Normalform gilt immer:
Im ersten Beispiel: 3 + 1 = 4 = −(−4) und 3 · 1 = 3 = q. Stimmt beides, ist die Rechnung richtig. Der Rechner zeigt diese Probe bei zwei Lösungen mit an.
Beispiele Schritt für Schritt
- x² − 4x + 3 = 0: p = −4, q = 3. x = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also x₁ = 3 und x₂ = 1.
- 2x² + 4x − 6 = 0: durch 2 teilen ergibt x² + 2x − 3 = 0. x = −1 ± √(1 + 3) = −1 ± 2, also x₁ = 1 und x₂ = −3.
- x² − 6x + 9 = 0: x = 3 ± √(9 − 9) = 3. Eine doppelte Lösung, denn x² − 6x + 9 = (x − 3)².
- x² + 2x + 5 = 0: x = −1 ± √(1 − 5) = −1 ± √(−4). Keine reelle Lösung; komplex sind es −1 + 2i und −1 − 2i.
Häufige Fehler
- Nicht durch a geteilt: Die pq-Formel gilt nur, wenn vor x² eine 1 steht.
- Vorzeichen von p vergessen: Bei x² − 4x ist p = −4, also −p/2 = +2.
- Gleichung nicht auf null gebracht: Aus x² + 3x = 10 muss erst x² + 3x − 10 = 0 werden, sonst stimmt q nicht.
- (p/2)² falsch quadriert: (−2)² ist +4, nicht −4.
Grenzen des Rechners
Ergebnisse werden auf bis zu sechs Nachkommastellen gerundet, Wurzeln also als Dezimalzahl und nicht als exakter Wurzelausdruck angegeben. Ist a = 0, löst der Rechner die verbleibende lineare Gleichung. Gleichungen dritten oder höheren Grades löst er nicht.
Typische Fehler
- Nicht durch a geteilt: Die pq-Formel gilt nur, wenn vor x² eine 1 steht.
- Vorzeichen von p vergessen: Bei x² − 4x ist p = −4, also −p/2 = +2.
- Gleichung nicht auf null gebracht: Aus x² + 3x = 10 muss erst x² + 3x − 10 = 0 werden, sonst stimmt q nicht.
- (p/2)² falsch quadriert: (−2)² ist +4, nicht −4.
Das Ergebnis dient der Orientierung. Bei gesetzlichen, finanziellen, medizinischen oder baulichen Entscheidungen sind der Einzelfall und die zuständige Fachstelle maßgeblich.
Aktualisiert am 18. Oktober 2026
Häufige Fragen
Wie lautet die pq-Formel?
x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Sie gilt für Gleichungen in der Normalform x² + px + q = 0.
Wann benutze ich die pq-Formel und wann die Mitternachtsformel?
Beide führen zum selben Ergebnis. Die pq-Formel braucht die Normalform mit 1 vor x², die Mitternachtsformel arbeitet direkt mit a, b und c. Welche Sie verwenden, hängt meist davon ab, welche im Unterricht eingeführt wurde.
Was mache ich, wenn vor x² keine 1 steht?
Teilen Sie alle Glieder der Gleichung durch die Zahl vor x². Aus 3x² − 6x − 9 = 0 wird x² − 2x − 3 = 0, also p = −2 und q = −3.
Was bedeutet eine negative Zahl unter der Wurzel?
Dann hat die Gleichung keine reelle Lösung, die Parabel schneidet die x-Achse nicht. Im Bereich der komplexen Zahlen gibt es zwei Lösungen, die der Rechner ebenfalls angibt.
Wie berechne ich die Nullstellen einer Parabel?
Setzen Sie die Funktion gleich null, also ax² + bx + c = 0, und lösen Sie mit der pq-Formel oder Mitternachtsformel. Die Lösungen sind die x-Werte der Nullstellen.
Wie finde ich den Scheitelpunkt?
Der Scheitelpunkt liegt bei x = −b ÷ (2a). Den y-Wert erhalten Sie, indem Sie diesen x-Wert in die Funktion einsetzen, oder direkt mit y = c − b² ÷ (4a).
Was ist eine doppelte Lösung?
Ist die Diskriminante genau 0, fallen beide Lösungen zusammen. Die Parabel berührt die x-Achse dann nur im Scheitelpunkt, zum Beispiel bei x² − 6x + 9 = 0 mit der Lösung x = 3.
Kann ich die Gleichung auch ohne Formel lösen?
Ja, mit quadratischer Ergänzung oder, wenn es glatt aufgeht, durch Faktorisieren: x² − 4x + 3 = (x − 3)(x − 1). Fehlt c, klammern Sie x aus: x² − 5x = x(x − 5), Lösungen 0 und 5.